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亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

2019-11-03

探索零知识证明系列(四)

推广

本文来自安比实验室(ID:SECBIT),作者郭宇,Odaily星球日报经授权转载。

亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

本文已更新至Github

https://github.com/sec-bit/learning-zkp/blob/master/zkp-intro/4/zkp-rom.md

“Challenges are at times an indication of Lord's trust in you.”   挑战,有时是上天信任你的一种表现。― D. Todd Christofferson

本文继续长篇大论零知识证明背后的机制原理,希望帮助大家理解这一类「现代密码学工具」的大致轮廓。本文约8000字,少量数学公式。

系列一:初识「零知识」与「证明」

系列二:理解「模拟」

系列三:寻找「知识」

交互与挑战

我们之前介绍的零知识证明系统都是「交互式」的,需要验证者 Bob 在交互中提供一个或若干个「随机数」来挑战,比如「地图三染色问题」(参看『系列二』)中,验证者 Bob 需要「不断地」随机挑选一条边来挑战 Alice 的答案,直到 Bob 满意为止,而 Alice 的作弊概率会「指数级」地衰减。而让 Bob 相信证明的「基础」取决于 Bob 所挑选的随机数是不是足够随机。如果 Alice 能够提前预测到 Bob 的随机数,灾难就会发生,现实世界就会退化成「理想世界」,而 Alice 就可以立即升级成「模拟器」,通过超能力来愚弄 Bob。

而『系列三』中,我们分析了 Schnorr 协议,协议中虽然验证者 Bob 只需要挑选一个随机数 c 来挑战 Alice ,让她计算一个值 z,但 Bob 绝对不能让 Alice 有能力来预测到 c 的任何知识,否则,Alice 也会变身成模拟器。

随机数的重要性不言而喻:

通过随机数挑战是交互式零知识证明的「信任根基」。

但,「交互过程」会限制应用场景。如果能将交互式零知识证明变成「非交互」?这会非常非常激动人心。所谓的非交互可以看成是只有「一轮」的证明过程,即Alice 直接发一个证明给 Bob 进行验证。

非交互式零知识证明,英文是 Non-Interactive Zero Knowledge,简称 NIZK。它意味整个证明被编码为一个「字符串」,它可以写到一张纸上,通过邮件、聊天工具等各种方式随意发送给任何验证者,字符串甚至可以放在 Github 上随时供大家下载验证。

在区块链世界,「NIZK」可以作为共识协议的一部分。因为一个交易需要多个矿工进行校验。设想下,如果交易的发送者和每个矿工都要交互一下,让矿工进行挑战,那么共识过程将奇慢无比。而非交互式零知识证明则可以直接广播给所有的矿工节点,让他们自行验证。

可能有朋友会问:只让一个矿工挑战不就够了吗?把矿工和交易发送者的交互脚本编码成证明,然后广播给其他矿工,然后其他矿工就直接相信这个挑战过程是可信的,不也可以吗?但是,很显然,这里需要相信第一个交互矿工作为可信第三方,第三方?似乎不是一个好主意……

而非交互式零知识证明,以下我们直接说「NIZK」,似乎就很理想了,没有第三方赚差价。

「非交互」带来的困惑

非交互式零知识证明,NIZK,如果存在,那么它要比交互式证明强大得多。

  • 交互式证明,只能取信于一个验证者;而 NIZK 可以取信于多个验证者,以至所有人。

  • 交互式证明,只能在交互的那个时刻有效;而 NIZK 将始终有效。

NIZK 不仅可以跨越空间,还能跨越时间

听上去很美,不是吗?But, ……

重复下上节的一个结论:

通过随机数挑战是交互式零知识证明的「信任根基」。

可是如果 NIZK 失去了挑战过程,有什么后果?

我们已经回忆过「零知识」性质的证明(参考『系列二』),证明过程需要构造一个模拟器(算法),它也和验证者(Bob)在理想世界中进行交互,而验证者 Bob 没有能力区分出来对方是否是真的 Alice 还是一个模拟器。

如果现在考虑下 NIZK 中的 非交互式,假如「我」向「你」出示一张纸,上面写着一个「真」证明 X ,又假如「你」在看过这张纸之后确实相信我了;又因为协议是「零知识」,那么如果把「我」换成一个模拟器,模拟器也能「伪造」一个假证明 Y,能够也让「你」相信。

好了,问题来了:

  • 你如何区分 X 和 Y ,孰真孰假?当然你无法区分,因为协议是零知识的,你必须不能区分

  • 我可以同样可以把 Y 出示给你看,那岂不是「我」就可以欺骗你了吗?

是不是不和谐了?请大家在此处思考两分钟。

(两分钟后……)

因为 NIZK 没有了交互,也就没了挑战过程,所有的证明过程都有 Alice 来计算书写,理论上 Alice 确实是想写什么就写什么,没人拦得住,比如 Alice 就写「理想世界」的 假证明 Y。

想必深刻理解模拟器的朋友,在这里会发现一个关键点:模拟器必须只能在「理想世界」中构造Y,也就是说,Y 这么邪恶的东西只能存在于「理想世界」,不能到「现实世界」祸害人间。

继续思考……

还有一个更深层次的问题,请大家回忆下「地图三染色问题」,之所以模拟器不能在「现实世界」中为非作歹,核心原因是,他在理想世界中有「时间倒流」的超能力,而在「现实世界」中不存在这种黑魔法。现实世界的「不存在性」是关键。

而且,NIZK 中没有交互,于是导致了一个严重的后果,模拟器没有办法使用「时间倒流」这个超能力,当然似乎也就不能区分证明者在两个世界中的行为。

换句话说,如果我们面对任何一个 NIZK 系统,似乎「模拟器」就很难高高在上了,它好像只能飘落人间,成为一个普普通通的凡人。如果,我说如果,按此推论,假设模拟器不再具备超能力,那就意味着 Alice 和模拟器没有区别,Alice 也可以成为一个模拟器,再继续推论,Alice 就可以在「现实世界」中任意欺骗 Bob,那么这个证明系统就不再有价值,因为它失去了「可靠性」。结论:任何的 NIZK 都不可靠。

这一定是哪里出了问题……

上面我们在分析的过程中,提到了交互挑战的缺失。确实,如果 Bob 不参与 Alice 产生证明的过程,证明所包含的每一个 bit 都由 Alice 提供,似乎「证明」本身不存在任何让 Bob 信任的「根基」。这个从「直觉」上似乎说不通。

那是不是说,没有 Bob 的参与就「彻底」没办法建立「信任根基」了呢?信任的根基还可以从哪里来呢?

答案是「第三方」!

Wait ……,协议交互不是只有两方吗? Alice 和 Bob,哪来第三方?

需要用特殊的方式引入第三方,而且方法不止一种,我们先研究第一种。

(泪目:不是说的好好的,咱们不引入第三方吗?)

回顾 Schnorr 协议

我们再看一下老朋友——Schnorr 协议,它是一个三步协议:第一步,Alice 发送一个承诺,然后第二步 Bob 发送随机数挑战,第三步,Alice 回应挑战。

亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

我们来看,如何把一个三步的 Schnorr 协议变成一步。

看一下 Schnorr 协议的第二步,Bob 需要给出一个随机的挑战数 c,这里我们可以让 Alice 用下面这个式子来计算这个挑战数,从而达到去除协议第二步的目的。

c = Hash(PK, R)

其中 R 是 Alice 发给 Bob 的椭圆曲线点,PK 是公钥。大家可以好好看看这个利用 Hash 算法计算 c 的式子。这个式子达到了两个目的:

  • Alice 在产生承诺 R 之前,没有办法预测 c,即使 c 最终变相是 Alice 挑选的

  • c 通过 Hash 函数计算,会均匀分布在一个整数域内,而且可以作为一个随机数(注:请大家暂且这么理解,我们在后文再深入讨论)

请注意:Alice 绝不能在产生 R 之前预测到 c,不然, Alice 就等于变相具有了「时间倒流」的超能力,从而能任意愚弄 Bob。

而一个密码学安全 Hash 函数是「单向」的,比如 SHA256,SHA3,blake2 等等。这样一来,虽然 c 是 Alice 计算的,但是 Alice 并没有能力实现通过挑选 c 来作弊。因为只要 Alice 一产生 R, c 就相当于固定下来了。我们假设 Alice 这个凡人在「现实世界」中是没有反向计算 Hash 的能力的。

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看上图,我们利用 Hash 函数,把三步 Schnorr 协议合并为了一步。Alice 可以直接发送:(R, c, z)。又因为 Bob 拥有 PK,于是 Bob 可以自行计算出 c,于是 Alice 可以只发送 (R, z) 即可。

我们把上面这个方案稍微变下形,就得到了「数字签名」方案。所谓的数字签名,就是「我」向「你」出示一个字符串,比如「白日依山尽,黄河入海流」,然后为了证明这句诗是我出示的,我需要签署某样东西。这个东西能证明我的身份和这句诗进行了关联。

从 NIZK 角度看数字签名

不严格地说,数字签名方案相当于在证明(1)我拥有私钥,并且(2)私钥和消息进行了关联计算。

我首先要证明我的身份,那么这个简单,这正是 Schnorr 协议的功能,能够向对方证明「我拥有私钥」这个陈述。并且这个证明过程是零知识的:不泄露关于「私钥」的任何知识。

那么如何和这句唐诗关联呢?我们修改下计算 c 的过程:

m = "白日依山尽,黄河入海流"
c = Hash(m, R)

这里为了保证攻击者不能随意伪造签名,正是利用了离散对数难题(DLP)与 Hash 函数满足抗第二原象(Secondary Preimage Resistance )这个假设。

注:这里严格点讲,为了保证数字签名的不可伪造性,需要证明 Schnorr 协议满足「Simulation Soundness」这个更强的性质。这点请参考文献[2]

亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

上图就是大家所熟知的数字签名方案 —— Schnorr 签名方案[1]。在这里还有一个优化,Alice 发给 Bob 的内容不是 (R, z) 而是 (c, z),这是因为 R 可以通过 c, z 计算出来。

注:为什么说这是一个「优化」呢?目前针对椭圆曲线的攻击方法有 Shanks 算法、Lambda 算法 还有 Pollard's rho 算法, 请大家记住他们的算法复杂度大约都是 [3],n 是有限域大小的位数。假设我们采用了非常接近 2^256 的有限域,也就是说 z 是 256bit,那么椭圆曲线群的大小也差不多要接近 256bit,这样一来,把 2^256 开平方根后就是 2^128,所以说 256bit 椭圆曲线群的安全性只有 128bit。那么,挑战数  c 也只需要 128bit 就足够了。这样 Alice 发送 c 要比发送 R 要更节省空间,而后者至少需要 256bit。c 和 z两个数值加起来总共 384bit。相比现在流行的 ECDSA 签名方案来说,可以节省1/4 的宝贵空间。现在比特币开发团队已经准备将 ECDSA 签名方案改为一种类 Schnorr 协议的签名方案——muSig[4],可以实现更灵活地支持多签和聚合。

而采用 Hash 函数的方法来把一个交互式的证明系统变成非交互式的方法被称为 Fiat-Shamir 变换[5],它由密码学老前辈 Amos Fiat 和 Adi Shamir 两人在 1986 年提出。

重建信任 —— 随机预言精灵

前文提到,失去了挑战,似乎失去了证明的「信任根基」。而在 Schnorr 签名方案中,Hash 函数担负起了「挑战者」的角色,这个角色有一个非常学术的名字:「随机预言机」(Random Oracle)[6]。

可是这里为何用 Hash?实际上当 Alice 要产生公共随机数时,需要一个叫做「随机预言机」的玩意儿,这是什么?

开脑洞时间到!

我们设想在「现实世界」中,天上有一位「精灵」,他手持一个双栏表格,左边一栏为字符串,右边一栏为数字。任何人,包括你我,包括 Alice 和 Bob,都可以发字符串给「精灵」。

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精灵在拿到字符串之后,会查表的左边栏,看看表格里有没有这个字符串,下面分两种情况:

  • 情况一:如果左边栏找不到字符串,那么精灵会产生一个「真随机数」,然后把字符串与随机数写入到表格中,然后把随机数返回地面上的凡人。

  • 情况二:如果左边栏有这个字符串记录,那么精灵会将右边栏里面的数字直接返回给地面。

大家会发现这个精灵的行为其实很像一个随机数发生器,但是又很不一样,不一样的地方在于当我们发送相同的字符串时,他会返回相同的数。这个精灵就是传说中的「随机预言机」。

而在合并 Schnorr 协议过程中,其实我们需要的是一个这样的随机预言精灵,而不是一个 Hash 函数。两者有什么不同的地方?区别就是:

  • 随机预言机每次对于新字符串返回的是一个具有一致性分布的「真」随机数

  • Hash 函数计算的结果并不是一个真正具有一致性分布的随机数

那么为什么前面用的是 Hash 函数呢?这是因为在现实世界中,真正的随机预言机不存在!为什么呢? 事实上,一个 Hash 函数不可能产生真的随机数,因为 Hash 函数是一个「确定性」算法,除了参数以外,再没有其它随机量被引入。

而一个具有密码学安全强度的 Hash 函数「似乎」可以充当一个「伪」随机预言机。那么合并后的安全协议需要额外增加一个很强的安全假设,这就是:

假设:一个密码学安全的 Hash 函数可以近似地模拟传说中的「随机预言机」

因为这个假设无法被证明,所以我们只能信任这个假设,或者说当做一个公理来用。插一句, Hash 函数的广义抗碰撞性质决定了它的输出可以模拟随机数,同时在很多情况下(并非所有),对 Hash 函数实施攻击难度很高,于是许多的密码学家都在大胆使用。

不使用这个假设的安全模型叫做「标准模型」,而使用这个假设的安全模型当然不能叫「非标准模型」,它有个好听的专有名词,叫做「随机预言模型」。

世界上有两种不同类型的人,喜欢甜豆花的,不喜欢甜豆花的。同样,世界上的密码学家分为两种,喜欢随机预言模型的,和不喜欢随机预言模型的[6]。

构造根基 —— 被绑架的精灵

Schnorr 协议经过 Fiat-Shamir  变换之后,就具有 NIZK 性质。这不同于我们证明过的 SHVZK,SHVZK 要求验证者诚实,而 NIZK 则不再对验证者有任何不现实的要求,因为验证者不参与交互,所谓要求诚实的验证者这个问题就不复存在。

注:如果验证者 Bob 不诚实会怎样?那么 Bob 有可能抽取出 Alice 的知识。但是对于三步 Schnorr 协议而言,它是否满足「零知识」,目前还处于未知状态。我们在系列三中只证明了它满足一个比较弱的性质:SHVZK。

但是,当 Schnorr 协议摇身一变,变成非交互零知识证明系统之后,就真正的「零知识」了。

然而,可能你的问题也来了,这个论断听起来似乎有道理,请问能证明吗?

时间到了,“翠花,上模拟器”

怎么用模拟器大法来构造一个「理想世界」呢?大家可以想一下,我们之前使用过「时间倒流」,还有修改「随机数传送带」超能力来让「模拟器」来作弊。可是没有交互了,这就意味着:「时间倒流」超能力不能用;Bob 的随机数传送带也不存在了,「篡改传送带」这个超能力也不能用!

但模拟器总要具备某种「超能力」,从而能够构建信任的「根基」

(如果模拟器在没有超能力的情况下具备作弊能力,那相当于证明了协议的不可靠性)。

可能大家现在已经猜出来了,模拟器要在「随机预言机」上动手脚。

先考虑下构造一个「理想世界」来证明「零知识」。在理想世界中,模拟器「绑架」了负责提供预言的「精灵」,当 Bob 向精灵索要一个随机数的时候,精灵并没有给一个真随机数,而是给 Zlice(模拟器假扮的 Alice)提前准备好的一个数(也符合一致性分布,保证不可区分性),「精灵」无可奈何地返回 Bob 一个看起来随机,但实际上有后门的数字。所谓后门,就是这个数字是 Zlice 自己提前选择好的。

亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

第一步:Zlice 随机选择 z,随机选择c,计算 R'=z*G - c*PK 。

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第二步:Zlice 将 c 与 (m, R') 写入精灵的表格。

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第三步:Zlice 将签名 (c, z) 发送给 Bob。

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第四步:Bob 计算 R=z*G - c*PK,并向精灵发送 (m, R),精灵返回 c’。请注意,这里 Bob 计算出来的 R 和 Zlice 计算出来的 R' 是相等。

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第五步:Bob 验证 c ?= c',看看精灵传回来的随机数和对方发过来的随机数是否相等。如果相等,则验证签名通过;否则,则验证失败。

通过绑架「精灵」,Zlice 同样可以提前预知随机数,这和时间倒流能达到同样的效果。

我们已经证明了模拟器 Zlice 的「存在性」,于是我们上面已经证明了 NIZK。

接下来我们证明这个这个协议的「可靠性」。设想在另一个「理想世界」中,一个叫做「抽取器」的玩意儿,也同样绑架了精灵。当无辜 Alice 的向「精灵」索要一个随机数时,「精灵」返回了一个 c1,「抽取器」从精灵的表格中偷窥到了c1,当 Alice 计算出来 z1 之后,然后这时候「抽取器」仍然可以发动「时间倒流」超能力,让 Alice 倒退到第二步,再次向「精灵」要一个随机数,Alice 发送的字符串显然和第一次发送的字符串是相同的,(R, m)。按道理,因为 (R, m) 已经写在精灵表格的「左栏」里,所以一个诚实的「精灵」应该返回 c1。但是,「抽取器」绑架了精灵,他把表格中对应 (R, m) 这一行的「右栏」改成了一个不同的数 c2。当 Alice 计算出另一个 z2 之后,抽取器就完成了任务,通过下面的方程计算出 Alice 的私钥 sk:

sk = (z1 - z2)/(c1 - c2)

Fiat-Shamir 变换 —— 从 Public-Coin 到 NIZK

不仅仅对于 Schnorr 协议,对于任意的 「Public-Coin 协议」,都可以用 Fiat-Shamir 变换来把整个协议「压缩」成一步交互,也就是一个非交互式的证明系统,这个变换技巧最早来自于 Amos Fiat 与 Adi Shamir 两人的论文『How to Prove Yourself: Practical Solutions to Identification and Signature Problems.』,发表在 1986 年的 Crypto 会议上[5]。也有一说,这个技巧来源于 Manuel Blum[6].

重复一遍,在 Public-coin 协议中,验证者 Bob 只做一类事情,就是产生一个随机数,然后挑战 Alice 。通过 Fiat-Shamir 变换,可以把 Bob 每一次的「挑战行为」用一次「随机预言」来代替。

而在具体实现中,随机预言需要用一个具有密码学安全强度的 Hash 函数(不能随便选,一定要采用密码学安全的 Hash),而 Hash 函数的参数应该是之前所有的上下文输入。下面是一个示例图,大家可以迅速理解这个 Fiat-Shamir 变换的做法。

亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

前面提到,在非交互式证明系统中,需要引入一个第三方来构建信任的「根基」,使得 Bob 可以完全相信由 Alice 所构造的证明。在这里,第三方就是那个「精灵」,用学术黑话就是「随机预言」(Random Oracle)。这个精灵并不是一个真实存在的第三方,而是一个虚拟的第三方,它同时存在于「现实世界」与「理想世界」。在「现实世界」中,精灵是一个负责任的安静美男子,而在「理想世界」中,它会被「模拟器」绑架。

Public-Coin 协议还有一个好听的名字, 「Arthur-Merlin 游戏」 ……

亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

看上图,左边的“白袍”就是 Merlin(魔法师梅林),中间拿剑的帅哥就是 King Arthur(亚瑟王),两个角色来源于中世纪欧洲传说——亚瑟王的圆桌骑士。

Arthur 是一个不耐烦的国王,他随身携带一个硬币,而 Merlin是一个有着无限制计算能力的神奇魔法师,然后魔法师想说服国王相信某个「论断」为真,于是魔法师会和国王进行到对话,但是由于国王比较懒,他每次只会抛一个硬币,然后「挑战」魔法师,而魔法师需要及时应对,而且需要让国王在 k 轮之后能够相信自己的论断。由于 Merlin 有魔法,所以亚瑟王抛的硬币都能被 Merlin 看到[7]。

这与我们在『系列一』中提到的交互式证明系统(Interactive Proof System,简称 IP)有些神似,但又不同。IP 由 Goldwasser,Micali 与 Rackoff(简称GMR)在 1985 年正式提出,它的证明能力覆盖很大一类的计算复杂性问题。而不同的地方在于:在 IP 的定义中,证明者 Prover 和 验证者 Verifier 都是可以抛硬币的图灵机,Verifier 可以偷偷抛硬币,并对 Prover 隐藏;而在 Arthur-Merlin 游戏中,国王只能抛硬币,不仅如此,而且抛硬币的结果总会被 Merlin 知道。

但是,Fiat-Shamir 变换只能在「随机预言模型」下证明安全,而用 Hash 函数实现随机预言的过程是否安全是缺少安全性证明的。不仅如此,「随机预言模型」下安全的协议可能是有不安全的,已经有人找到了一些反例[8];更不幸的是,S. Goldwasser 与 Y. Tauman 在 2003 年证明了 Fiat-Shamir 变换本身也是存在安全反例的[9]。但是这并不意味着 Fiat-Shamir 变换不能用,只是在使用过程中要非常小心,不能盲目套用。

尽管如此,人们无法抵挡 Fiat-Shamir 变换的诱惑,其使用极其广泛。值得一提的是,最热的通用非交互零知识证明 zkSNARK 的各种方案中,Fiat-Shamir 变换比比皆是。比如大家可能耳熟能详的 Bulletproofs(子弹证明),此外还有一些暂时还不那么有名的通用零知识证明方案,比如 Hyrax,Ligero,Supersonic,Libra 等(我们后续会抽丝剥茧,逐一解读)。

小心:Fiat-Shamir 变换中的安全隐患

在 Fiat-Shamir 变换中,要尤其注意喂给 Hash 函数的参数,在实际的代码实现中,就有这样的案例,漏掉了 Hash 函数的部分参数:

比如在 A, Hash(A), B, Hash(B) 中,第二个 Hash 函数就漏掉了参数A,正确的做法应该是A, Hash(A), B, Hash(A,B)。这一类的做法会引入严重的安全漏洞,比如在瑞士的电子投票系统 SwissPost-Scytl 中,就在 Fiat-Shamir 变换的实现代码中多次漏掉了本来应该存在的参数,导致了攻击者不仅可以随意作废选票,还可以任意伪造选票,达到舞弊的目的[10]。因此在工程实现中,请务必注意。

细心读者也许会回看一下 Schnorr 签名,大家会发现 Schnorr 签名中的 Hash 算法似乎也漏掉了一个参数 PK,并不是严格的 Fiat-Shamir 变换,这被称为 Weak Fiat-Shamir 变换[11],不过这个特例并没有安全问题[3],请未成年人不要随意模仿。

最近一些学者开始在标准模型下研究如何严格证明 Fiat-Shamir 变换的安全性,目前要么引入额外的强安全假设,要么针对某个特定协议进行证明,但似乎进展并不大。

交互的威力

话说在1985年,当 GMR 三人的论文历经多次被拒之后终于被 STOC’85 接受,另一篇类似的工作也同时被 STOC'85 接受,这就是来自于匈牙利罗兰大学的 László Babai,与来自以色列理工的 Shlomo Moran 两人撰写的论文『Arthur-Merlin Games: A Randomized Proof System, and a Hierarchy of Complexity Classes』[7],引入了 Public-coin 交互式协议(顾名思义,Verifier 只公开抛硬币)。

国王 Arthur 的方法很简单,通过反复地「随机」挑战来检验 Merlin 的论断,这符合我们前面讲述过的直觉:采用随机挑战来构建信任的「根基」。Babai 在论文中证明了一个有趣的结论:AM[k]=AM[2],其中 k 表示交互的次数,交互多次产生的效果居然和交互两次等价。所谓交互两次是指:Arthur 发一个挑战数,然后 Merlin 回应。

注:还有一类的问题属于 MA,这一类问题的交互顺序与 AM不同,MA中是 Merlin 先给出证明,然后 Arthur 抛硬币检验。已证明:MA 能处理的问题是 AM 的子集。

不仅如此,Babai 还大胆猜测: AM[poly] 与 IP 是等价的。这是一个神奇的论断:国王很懒,他只需要通过抛多项式次硬币,就能成功挑战魔法师,而这种方式的表达能力居然完全等价于 GMR 描述的交互式证明系统 IP。果不其然,在 STOC'86 会议上,来自 S. Goldwasser 与 M. Sipser 的论文证明了这一点,AM[poly] == IP[12]。

亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

这意味着:反复公开的「随机挑战」威力无穷,它等价于任意的交互式证明系统。但是 AM[poly] 和别的计算复杂性类的关系如何,是接下来的研究热点。

三年后,1989 年11月底,距今恰好三十年,年轻的密码学家 Noam Nisan 发出了一封邮件,把自己的临时学术结论发给了几个密码学家,然后他就跑去南美洲度假了。可是他不曾想到,这一个邮件会引爆历史上一场激烈的学术竞赛,M. Blum, S. Kannan, D. Lipton, D. Beaver, J. Feigenbaum, H. Karloff, C. Lund 等等一大群精英开始加入战斗,他们没日没夜地互相讨论,并且竞相发布自己的研究成果,终于在12月26号,刚好一个月,Adi Shamir 证明了下面的结论:

AM[poly] == IP == PSPACE

亚瑟王的「随机」挑战:从交互到非交互式零知识证明——探索零知识证明系列(四)

它解释了「有效证明」这个概念的计算理论特征,并且解释了「交互式证明系统」这个概念所能涵盖的计算能力。

注:NP 类 是 PSPACE 类的子集,前者大家比较熟悉,后者关联游戏或者下棋中的制胜策略[13]。

而 L. Babai 于是写了一篇文章,名为「Email and the unexpected power of interaction」(电子邮件与交互的始料未及的威力)[14],详细阐述了这一整个月在「邮件交互」中精彩纷呈的学术竞赛,以及关于「交互证明」的来龙去脉。

公共参考串 —— 另一种「信任根基」

除了采用「随机预言机」之外,非交互零知识证明系统采用「公共参考串」(Common Reference String),简称「CRS」,完成随机挑战。它是在证明者 Alice 在构造 NIZK 证明之前由一个受信任的第三方产生的随机字符串,CRS 必须由一个受信任的第三方来完成,同时共享给 Alice 和 验证者 Bob。

是的,你没看错,这里又出现了「第三方」!虽然第三方不直接参与证明,但是他要保证随机字符串产生过程的可信。而产生 CRS 的过程也被称为「Trusted Setup」,这是大家又爱又恨的玩意儿。显然,在现实场景中引入第三方会让人头疼。CRS 到底用来做什么?Trusted Setup 的信任何去何从?这部分内容将留给本系列的下一篇。

未完待续

非交互式零知识证明 NIZK 的「信任根基」也需要某种形式的随机「挑战」,一种「挑战」形式是交给「随机预言精灵」;另一种「挑战」是通过 Alice 与 Bob 双方共享的随机字符串来实现。两种挑战形式本质上都引入了第三方,并且两者都必须提供可以让「模拟器」利用的「后门」,以使得让模拟器在「理想世界」中具有某种「优势」,而这种优势在「现实世界」中必须失效。

NIZK 散发着无穷魅力,让我不时惊叹,在过去三十多年里,先驱们所探寻到的精妙结论,同时还有如此之多的未知角落,在等待灵感之光的照射。

本系列文章在 Github 上的项目仓库收到了第一个 Pull Request,来自Jingyu Hu(colortigerhu),只改了个把字,但那一瞬间,我感受到了生命力。知识交流,思想碰撞,很迷人,不是吗?

“Everyone we interact with becomes a part of us.”  与我们交往互动的每一个人都是我们自身的一部分。 ― Jodi Aman

*致谢:特别感谢丁晟超,刘巍然,陈宇的专业建议和指正,感谢安比实验室小伙伴们(p0n1, even, aphasiayc, Vawheter, yghu, mr) 的修改建议。

致谢:自Nisan发起的密码学研究轶事参考自邓老师的文章[15]。

参考文献

  • [1] Schnorr, Claus-Peter. "Efficient signature generation by smart cards." Journal of cryptology 4.3 (1991): 161-174.

  • [2] Paillier, Pascal, and Damien Vergnaud. "Discrete-log-based signatures may not be equivalent to discrete log." International Conference on the Theory and Application of Cryptology and Information Security. Springer, Berlin, Heidelberg, 2005.

  • [3] Pointcheval, David, and Jacques Stern. "Security arguments for digital signatures and blind signatures." Journal of cryptology 13.3 (2000): 361-396.

  • [4] Maxwell, Gregory, Andrew Poelstra, Yannick Seurin, and Pieter Wuille. "Simple schnorr multi-signatures with applications to bitcoin." Designs, Codes and Cryptography 87, no. 9 (2019): 2139-2164.

  • [5] Fiat, Amos, and Adi Shamir. "How to prove yourself: Practical solutions to identification and signature problems." Conference on the Theory and Application of Cryptographic Techniques. Springer, Berlin, Heidelberg, 1986.

  • [6] Bellare, Mihir, and Phillip Rogaway. "Random Oracles Are Practical: a Paradigm for Designing Efficient Protocols." Proc. of the 1st CCS (1995): 62-73.

  • [7] László Babai, and Shlomo Moran. "Arthur-Merlin games: a randomized proof system, and a hierarchy of complexity classes." Journal of Computer and System Sciences 36.2 (1988): 254-276.m

  • [8] Canetti, Ran, Oded Goldreich, and Shai Halevi. "The random oracle methodology, revisited." Journal of the ACM (JACM)51.4 (2004): 557-594.

  • [9] Shafi Goldwasser, and Yael Tauman . "On the (in) security of the Fiat-Shamir paradigm." 44th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 2003. Proceedings.. IEEE, 2003.

  • [10]Lewis, Sarah Jamie, Olivier Pereira, and Vanessa Teague. "Addendum to how not to prove your election outcome: The use of nonadaptive zero knowledge proofs in the ScytlSwissPost Internet voting system, and its implica tions for castasintended verifi cation." Univ. Melbourne, Parkville, Australia (2019).

  • [11] Bernhard, David, Olivier Pereira, and Bogdan Warinschi. "How not to prove yourself: Pitfalls of the fiat-shamir heuristic and applications to helios." International Conference on the Theory and Application of Cryptology and Information Security. Springer, Berlin, Heidelberg, 2012.

  • [12] Goldwasser, Shafi, and Michael Sipser. "Private coins versus public coins in interactive proof systems." Proceedings of the eighteenth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM, 1986.

  • [13] Papadimitriou, Christos H. "Games against nature." Journal of Computer and System Sciences 31.2 (1985): 288-301.

  • [14] Babai, László. "E-mail and the unexpected power of interaction." Proceedings Fifth Annual Structure in Complexity Theory Conference. IEEE, 1990.

  • [15] Yi Deng. "零知识证明:一个略显严肃的科普." https://zhuanlan.zhihu.com/p/29491567

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